问题一：什么是模型思想 数鸡模型思想方法是高中教学中最常见 、应用最为广泛的数学思想方法之一 。而高一数学是学生在高中学习阶段的起点，教师在本书的教学过程中恰当地渗透数学模型思想方法 ，不仅可以使本书的数学问题形象化 ，易于学生理解，还可提高学生独立分析问题的能动性及思维能力 ，形成良好的思维习惯 。同时作为师范类数学专业本科毕业生 ，一般即将从事高一数学的教学工作，本文可以起到一定的指导作用。本文参考了多种文献资料并结合当前相关的数学教学理论 ，从数学课堂中出现的具体过程及方式出发 ，主要针对如何在高一数学的教学中渗透数学模型思想方法以及在使用过程中应注意哪些问题等进行了讨论 。关 键 词 数学模型；思维；教学；构造 在中学中，一般地，数学模型是指针对或参照某种客观事物的主要特征 、主要关系 ，采用形式化的数学语言 ，抽象概括地或近似地表达出来的一种数学结构模型 。一切数学概念、数学理论体系 、各种数学公式 、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以称为数学模型 ，这些模型经过教学法的加工和逻辑处理 ，有机地结合在一起，构成了中学的数学知识体系。在这种意义下 ，我们可以说中学数学教学实际上是数学系模型的教学 ，而通过构造数学模型来解决有关问题的方法称为数学模型思想方法 。随着科学技术的发展，特别是现代计算机的广泛应用和科学技术的数字化 ，通过构造数学模型来解决实际问题的方法正广泛应用于自然科学 、工程技术以及社会科学等多个领域 。在中学数学教学中恰当地渗透数学模型思想方法 ，可使抽象的数学知识形象化，对培养学生的观察分析能力 ，逻辑思维能力有很大的作用。使学生在学习中更容易理解 、加深记忆 ，能够灵活地运用所学和数学知识。高一数学是学生在整个高中数学学习阶段的起点，学生们由于刚经过初中的学习，已具备一定的初等数学知识和形成了基本的思维方式 ，但是对数学模型思想方法没有形成系统的认知和足够的实践运用经验 。而且在高一数学的教学中涉及高中阶段运用最广、最多的内容――函数 ，所以在高中的开始阶段渗透数学模型思想方法，有利于学生在以后的学习中逐步形成良好的思维习惯 ，提高学生的数学知识认识能力和解题能力 。当前素质教育提倡的是由重教法到重学法的教学方式的转变 ，学生作为学习的主体而教师是引导者。如何发掘教材内容潜在的数学模型思想方法，并在教学中潜移默化地引导学生使用它 ，这是作为中学数学教师应具备的能力 。数学模型思想方法在本教材的教学中可运用于常规的数学问题 ，也可用于其它实际性的问题 。建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力 ，筛选、抛弃次要因素 ，突出主要因素，做出适当的抽象和简化。全过程一般分为表述 、求解 、解释、验证几个阶段 ，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型 ，再从数学模型到现实对象的循环,可用流程图表示如下：图1 数学模型思想方法应用流程图当然我们在常规的数学解题过程中，更常见的是把现有的问题反映的数学模型转化成另一种数学模型以得到最佳的解题途径 。所以在多数情况下，对于不同的题目运用数学模型思想方法时具体的步骤也有所不同 ，但最关键是如何建立一个恰当的模型以使问题更易于解决 。
问题二：什么是建模思想 数学建模思想 ，本质土是要培养学生灵活运用数学知识解决实际中的问题的能力。在这一过程中，我们需要培养学生的抽象思维 、简化思维 、批判性思维等数学能力 。
1数学建模需要抽象思维
分析上面模型的建立与求解过程 ，我们可以发现 ，解决问题时，离不开抽象思维 ，离不开对高等数学基本概念的深入理解和透彻分析 。
当解决问题1时 ，我们紧密结合“绝对涌出量 ”与“相对涌出量 ”的概念，解剖概念所包含的每一点信息 ，找到了“绝对涌出量”与“相对涌出量 ”的计算公式 ，从而建立了数学模型I。
可见，我们要把纷繁芜攻的实际问题 ，归结到高等数学的相关概念和定义之中 ，利用定义找到计算公式，从而建立数学模型 。在这种层层分析的过程中，抽象思维起到了关键性作用 。正是这种层层分析 ，才使得复杂问题得以解决。所以说 ，数学建模需要抽象思维。
2数学建模需要简化思维
所谓简化思维，就是把复杂问题进行简化 ，进而使本质凸显 。就像进行X光透视一样 ，祛除血肉，尽剩骨架 。只有迅速抓住主要矛盾 ，舍弃次要因素 ，找到问题的本质，才能“看透 ”问题的本质。
例如 ，鉴别该矿井属于“低瓦斯矿井”还是“高瓦斯矿井 ”的问题 ，本质上是要我们先求出“绝对涌出量 ”与“相对涌出量”，然后把它们与标准值比大小；煤矿发生爆炸的可能性 ，实际上是概率问题；该煤矿所需要的最佳(总)通风量 ，实质上就是最优问题，即带约束条件的线性规划问题 。
这种简化思维具有深刻性的特点 。它并不是天生就具有的，可以经过精心培养而形成 ，经过刻苦锻炼而强化。在高等数学的教学过程中 ，需要培养学生的这种深层次的洞察能力 。
3数学建模需要批判性思维
在数学模型建立、求解完成后，我们需要对所得的结果进行分析 ，还需要对所建立的数学模型进行评价 ，并及时对模型进行改进，以取得最佳结果 。同时 ，我们还要指出所建模型的实际意义 ，并努力加以推广。这些环节，都需要良好的批判性思维 。
在高等数学的教学过程中 ，我们需要培养学生的批判性思维 。在每道题解完后 ，我们都要进行这种解后反思的训练，不断地提问：结果对吗?符合实际吗?该解法的优缺点在哪里?还有更好的解法吗?如何改进?能够推广吗?……在这种训练的过程中 ，学生的批判性思维将得到强化和提高。
问题三：建立数学模型主要使用了哪些高等数学思想? 所有思想思想都有可能涉及
如何在小学数学教学中渗透数学建模思想
摘要：随着全球经济的发展 ，计算机的迅速发展，利用计算机去解决数学问题再用数学去解决实际问题显得尤为重要，而数学建模就是利用计算机与数学解决实际问题 。本文从四个方面论述了现代数学应用中数学建模的重要性 ，详细阐述了数学建模在生活中的应用和怎样在学校教育中开展数学建模的教学这两个问题 。通过对四个方面即概念 、重要性 、应用、养数学建模的能力的深刻论述得出结论 ，数学建模是架于数学理论和生活实际之间的一个桥梁，让人们看到了数学建模的价值 ，体会到数学建模的教学在现代教育中的重要地位和作用。
关键词：数学建模；综合素质；教学；数学应用
（一）数学建模的概念
数学建模非常广泛 、简单 ，它一直与生活 、学习息息相关。例如，在学习中学数学的课程时 ，根据应用题的已知量列出的数学等式就是最简单的数学模型 ，对方程进行求解的过程就是在进行简单的数学建模 。数学建模就是应用数学模型来解决各种实际问题的方法 。也就是通过对实际问题的抽象、简化 、确定变量和参数 、并应用某些“规律”建立变量，参数间的确定性的数学问题（也可称为一个数学模型）求解数学问题 ，解释验证所得到的解 ，从而确定能否应用于解决实际问题的多次循环，不断深化结果。它是用数学方法解决各种实际问题的桥梁 。
（二）数学建模的思想内涵?
在《数学课程标准》我们发现这样一句话——“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程 ，进而使学生获得对数学理解的同时 ，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展 。 ”,这实际上就是要求把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程,并在建模过程中培养学生的数学应用意识,引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程 ，让学生在进行探究性学习的过程中科学地 、合理地 、有效地建立数学模型 。
一、数学模型的概念
数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构 。数学中的各种概念 、公式和理论都是由现实世界的原型抽象出来的,从这个意义上讲,所有的数学知识都是刻画现实世界的模型。狭义地理解,数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构,是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达 。数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法 。《数学课程标准》安排了“数与代数 ”“空间与图形”“统计与概率 ”“实践与综合应用 ”四块学习领域,强调学生的数学活动,发展学生的数感 、符号感、空间观念 、以及应用意识与推理的能力。这些内容中最重要的部分,就是数学模型 。在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统,算法系统,关系 、定律、公理系统等 。
二 、小学数学教学渗透数学建模思想的可行性
数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径 ，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确 、清晰地认识、理解数学的意义。在小学数学教学活动中 ，教师应采取有效措施 ，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣 ，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。数学在本质上就是在不断的抽象 、概括 、模式化的过程中发展和丰富起来的 。数学学习只有深入到“模型”、“建模 ”的意义上 ，才是一种真正的数学学习 。这种“深入 ”，就小学数学教学而言 ，更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学 ，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程 ，进而使学生获得对数学的理解的同时 ，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进入和发展。”
对数学建模这个概念来讲也许是新的，但回想我们的日常教学不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或意识，只不过没有从理论的角度把它概括出来而已 。例如 ，在以往教学求比一个数多几的应用题时 ，经常碰到这样一个例题“小明家养了6只公鸡，养的母鸡只数比公鸡多3 只 ，母鸡有几只？ ”在教学此例时老师们都是采用让学生摆 、说等教学活动来帮助学生分析数量关系 ，理解“同样多的部分 ”，但教学效果并没有我们老师想象的那么好 ，一般同学们在解释数量关系式6+3=9时 ，母鸡和公鸡是不分的，极大部分学生都会说6只公鸡加3只母鸡等于9只母鸡 。为什么学生不会用“同样多的部分”去描述母鸡的只数 ，其原因是十分明显的 ，那就是学生在操作时头脑中已经对现实问题进行简化，并建立了一个有关母鸡只数求法的数学模型 ，这个模型显然是一种叠加模型 ，即6+3=9（只），而6表示什么在模型中已经是无关紧要，因为实际问题最终要解决的是数量问题。从以上这个教学实例至少可以说明两点；其一 ，小学生在解决实际问题时有他自己的数学模型 ，有他自圆其说的解读数学模型的方法，因此 ，小学生也有数学建模能力 。其二 ，当学生的数学模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不规范的 ，但外人很难改变他的模型结构 。
三 、小学生如何形成自己的数学建模
一、创设情境 ，感知数学建模思想。
数学来源于生活，又服务于生活 ，因此 ，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例 ，以情境的方式在课堂上展示给学生 ，描述数学问题产生的背景 。情景的创设要与社会生活实际 、时代热点问题 、自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，让学生感到真实 、新奇 、有趣、可操作，满足学生好奇好动的心理要求 。这样很容易激发学生的兴趣 ，并在学生的头脑中激活已有的生活经验 ，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题 ，感知数学模型的存在。
如教学平均数一课 ，新课伊始出示两个小组一分钟做题道数：
第一组 9 8 9 6
第二组 7 10 9 8
教师提问：哪组获胜，为什么？
这时出示 ，第一组请假的一位同学后来加入比赛 。
第一组 9 8 9 6 8
第二组 7 10 9 8
师：根据比赛成绩我们判定一组获胜 。
此时有学生提出异议：虽然第一组做对的总道数比第二组多 ，但是两个队的人数不同，这样比较不公平。
师：那怎么办呢？
生：可以用平均数进行比较。
师：什么是平均数？
学生根据自己的生活经验进行总结 。
本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中 ，学生在两次评判中解读 、整理数据 ，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行 。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程 ，
二 、参与探究 ，主动建构数学模型
数学家华罗庚通过多年的学习、研究经历总结出：对书本中的某些原理 、定律 、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的 ，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程 ，数学的思想、方法才能沉积 、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值 。动手实践 、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式 。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的 、生动和富有个性的过程。因此 ，在教学时我们要善于引导学生自主探索 、合作交流 ，对学习过程、学习材料 、学习发现主动归纳 、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型 。
如教学圆锥的体积一课：
1、回顾 、猜想：
师：请同学们回忆我们在学习圆柱的体积推导过程中 ，应用了哪些数学思想方法？
生：运用了转化的方法 。
师：猜一猜圆锥的体积能否转化成已经学过的图形的体积？它会与学过的哪种立体图形有关？
学生大胆进行猜想 ，有的猜能转化成圆柱 、有的猜能转化成长、正方体。
2 、动手验证
师：请同学们利用手中的学具进行操作，研究圆锥体积的计算方法 。
教师给学生提供多个圆柱 、长方体、正方体和圆锥空盒（其中圆柱和圆锥有等底等高关系的、有不等底不等高关系的 ，圆锥与其他形体没有等底或等高关系） 、沙子等学具 ，学生分小组动手实验 。
3 、反馈交流
生1：我们选取了一个圆锥和一个正方体进行实验，将正方体中倒满沙子 ，然后倒入圆锥容器中 ，到了四次，还剩下一些，发现圆锥体与这个圆柱体之间没有关系。
生2：我们组选取的是圆锥和圆柱 ，这个圆锥与这个圆柱之间也没存在关系 ，然后我们换了一个圆柱，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的三倍 。
4、归纳总结 。
师：那么存在3倍关系的圆柱和圆锥的底面有什么关系?它们的高又有什么关系?
生3：底面积相等 ，高也相等。
师：圆柱的体积和同它等底等高圆锥的体积的有什么关系?
生：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
生：圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体权的1/3 。
师：是不是所有的等底等高的圆柱 、圆锥都存在这样的关系？请每个组都选出这样的学具进行操作验证 。
生：汇报后师板书:
圆锥的体积等于同它等底等高的圆柱体积的1/3。
师：如果没有圆柱这一辅助工具 ，我们怎样计算圆锥的体积？
生：圆锥的体积等于底面积乘高乘1/3 。
在上述教学过程中，教师提供丰富的实验材料 ，学生需要从中挑选出解决问题必须的材料进行研究 。学生的问题不是一步到位的 ，通过不断地猜测 、验证、修订实验方案，再猜测 、再验证这样的过程 ，逐步过渡到复杂的 、更一般的情景 ，学生在主动探索尝试过程中，进行了再创造学习 ，以抽象概括方式自主总结出圆锥体积计算公式。这一环节的设计 ，不仅发展了学生的策略性知识，同时让学生经历猜测与验证、分析与归纳 、抽象与概括的数学思维过程 。学习过程中学生有时独立思考，有时小组合作学习 ，有时是独立探索和合作学习相结合 ，学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成过程 。
三 、解决问题，拓展应用数学模型
用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题 ，让学生能体会到数学模型的实际应用价值 ，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力 ，让学生体验实际应用带来的快乐。解决问题具体表现在两个方面：一是布置数学题作业 ，如基本题、变式题 、拓展题等；二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学 。通过应用真正让数学走入生活 ，让数学走近学生 。用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学问题 ，培养学生的数学意识，提高学生的数学认知水平 ，又可以促进学生的探索意识 、发现问题意识、创新意识和实践意识的形成 ，使学生在实际应用过程中认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。
如在学生掌握了速度、时间 、路程之间关系后 ，先进行单项练习 ，然后出示这样的变式题：
1 、汽车4小时行驶了240千米，12小时可行驶多少千米？
2、火车的速度是每小时130千米 ，火车早上8：00出发 ，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？
学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后 ，进行变式练习 ，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握 ，并能够从4小时行驶了240千米中找到需要的速度 ，从8：00至14：00中找到所需时间 。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答 。掌握了数学模型 ，学生解答起数学问题来得心应手。
又如学习了圆的周长后设计这样的题目：怎样利用你的自行车测量学校到家里的实际距离。
这一问题的设计既考虑与学生生活的真实情景相结合 ，又能引起学生的猜测 、估计 、操作、观察 、思考等具体的学习活动，并能使学生在具体的学习活动中学会搜集资料 、分析问题 。在解决实际问题中，学生需要搜集大量的信息 ，并从信息中剔除无用信息 ，留下有用信息，构建起数学模型 ，并运用数学模型进行计算、解决问题 。在这一过程中 ，学生易于形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，激发学生的创新精神。因此 ，我们在教学过程中 ，应注重学生建模思想的形成与运用 。
综上所述，小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程 ，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程 。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透 ，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处 ，进而对数学产生更大的兴趣。通过建模教学 ，可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次 。同时 ，培养学生应用数学的意识和自主 、合作 、探索、创新的精神 ，为学生的终身学习 、可持续发展奠定基础 。因此在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想 、方法 ，形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。
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